บทความนี้จะพาไปสำรวจว่าอะไรคือ พื้นฐาน orthonormal ของเมทริกซ์และวิธีค้นหาเมทริกซ์ใน MATLAB โดยใช้ ออร์ธ() การทำงาน.
พื้นฐานออร์โธนอร์มอลของเมทริกซ์คืออะไร
ในพีชคณิตเชิงเส้น พื้นฐาน orthonormal ของปริภูมิเวกเตอร์ V ที่มีมิติจำกัดเป็นพื้นฐานที่มี เวกเตอร์ออร์โธนอร์มอล ที่ไหน เวกเตอร์ออร์โธนอร์มอล คือเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกันซึ่งมีค่าดอทโปรดัคเป็นศูนย์
พิจารณาเวกเตอร์ที่มีสองหน่วย x และ y พวกมันจะตั้งฉากกันถ้า “x.y=0” . เวกเตอร์สองตัวนี้เรียกอีกอย่างว่า เวกเตอร์ออร์โธนอร์มอล .
เหตุใดเราจึงต้องคำนวณพื้นฐานออร์โธนอร์มอล
พื้นฐานออร์โธนอร์มอล มีประโยชน์ในแง่ของการค้นหาเส้นโครงของเวกเตอร์ไปยังเวกเตอร์อื่น หรือการค้นหาระยะห่างระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง เรายังสามารถใช้ a พื้นฐาน orthonormal เพื่อลดข้อผิดพลาดในการปัดเศษในการจำลองของเรา และเหตุผลเดียวก็คือเวกเตอร์ในลักษณะออร์โธนอร์มอลเป็นอิสระจากกัน ดังนั้นข้อผิดพลาดในเวกเตอร์หนึ่งจึงไม่สามารถแพร่กระจายไปยังเวกเตอร์อื่นได้ นอกจากนี้ การค้นหาพิกัดและการแปลงเชิงเส้นจะง่ายกว่ามากหากพื้นฐานของเราเป็นแบบออร์โธนอร์มอล
จะหาพื้นฐานออร์โธนอร์มอลของเมทริกซ์ใน MATLAB ได้อย่างไร
ใน MATLAB เราสามารถค้นหาไฟล์ พื้นฐาน orthonormal โดยใช้บิวท์อิน ออร์ธ() หน้าที่ซึ่งมีหน้าที่กำหนด พื้นฐาน orthonormal ของเมทริกซ์ที่กำหนด ฟังก์ชันนี้ยอมรับเมทริกซ์เป็นพารามิเตอร์บังคับ และจัดเตรียมเมทริกซ์เป็นเอาต์พุตที่มี พื้นฐาน orthonormal ของเมทริกซ์อินพุตที่กำหนด
ไวยากรณ์
ที่ ออร์ธ() ฟังก์ชั่นสามารถนำมาใช้ใน MATLAB ผ่านไวยากรณ์ต่อไปนี้:
ถาม = ออร์ธ ( เอ โทร )
ที่นี่,
- ฟังก์ชั่น Q = ทิศเหนือ(A) มีหน้าที่กำหนด พื้นฐาน orthonormal สำหรับช่วงของ A โดยที่คอลัมน์ของเมทริกซ์เอาต์พุต Q แสดงถึง พื้นฐาน orthonormal ของเมทริกซ์ A และพวกมันสแปมช่วงของเมทริกซ์ A นอกจากนี้ อันดับของ A เท่ากับจำนวนคอลัมน์ของ Q
- ฟังก์ชั่น Q = ออร์ธ(A,tol) มีหน้าที่กำหนด พื้นฐาน orthonormal สำหรับช่วงของ A ที่ระบุพิกัดความเผื่อ ค่าเอกพจน์ของเมทริกซ์อินพุต A ซึ่งน้อยกว่าค่าความคลาดเคลื่อนจะถือเป็นศูนย์โดยส่งผลต่อจำนวนคอลัมน์ของ Q
ตัวอย่างที่ 1: วิธีค้นหาพื้นฐาน Orthonormal ของเมทริกซ์อันดับเต็มใน MATLAB
รหัส MATLAB นี้กำหนด พื้นฐาน orthonormal ของเมทริกซ์จตุรัส A ที่กำหนดซึ่งมีขนาด n=3 โดยใช้ ออร์ธ() การทำงาน. รหัสนี้ยังค้นหาอันดับของเมทริกซ์ A โดยใช้ อันดับ() ฟังก์ชั่นเพื่อตรวจสอบว่าเมทริกซ์อินพุตอยู่ในอันดับเต็ม
เอ = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - - 3 ] ;r = อันดับ ( ก )
ถาม = ออร์ธ ( ก )
ตัวอย่างที่ 2: วิธีการคำนวณพื้นฐานออร์โธนอร์มอลของเมทริกซ์อันดับขาดใน MATLAB
ในตัวอย่างนี้ เราใช้ ออร์ธ() ฟังก์ชั่นเพื่อค้นหา พื้นฐาน orthonormal ของเมทริกซ์ A ที่มีอันดับไม่เพียงพอ เมทริกซ์ A นั้นมีอันดับไม่เพียงพอเนื่องจาก อันดับ(K)<ขนาด(A) .
เอ = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 0 0 ] ;r = อันดับ ( ก )
ถาม = ออร์ธ ( ก )
ตัวอย่างที่ 3: วิธีค้นหาพื้นฐานออร์โธนอร์มอลของเมทริกซ์อันดับเต็มโดยการระบุค่าเผื่อใน MATLAB
ตัวอย่างที่กำหนดจะคำนวณ พื้นฐาน orthonormal ของเมทริกซ์จตุรัส A แบบเต็มอันดับที่กำหนดซึ่งมีขนาด n=3 ใช้ ออร์ธ() ฟังก์ชั่นที่มีความทนทานเริ่มต้น เนื่องจาก A เป็นเมทริกซ์ระดับเต็ม ขนาดของ A และ Q (พื้นฐานมุมฉาก) ก็เหมือนกัน ซึ่งในกรณีนี้คือ 3×3 จากนั้นตัวอย่างจะคำนวณ พื้นฐาน orthonormal ของ A โดยระบุค่าพิกัดความเผื่อ 0.5 เพื่อพิจารณาค่าของ A ที่น้อยกว่า 0.5 เป็นค่าเอกพจน์ A มีค่าเอกพจน์สามค่า ดังนั้น A จึงมีเวกเตอร์คอลัมน์ออร์โธนอร์มอลสองตัวตามที่มีอยู่ใน คิวทอล เมทริกซ์
A = แรนด์ ( 3 ) ;r = อันดับ ( ก )
ถาม = ออร์ธ ( ก )
Q_tol = ออร์ธ ( เอ, 0.5 )
บทสรุป
การหา พื้นฐาน orthonormal ของปริภูมิเวกเตอร์เป็นแนวคิดที่สำคัญของพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายและมีประสิทธิภาพโดยใช้ในตัวของ MATLAB ออร์ธ() การทำงาน. บทความนี้ได้นำเสนอการใช้งานฟังก์ชันนี้โดยใช้ไวยากรณ์และตัวอย่างที่แตกต่างกัน