บทที่ 2: พีชคณิตแบบบูลและส่วนประกอบคอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้อง

บทที่ 2: พีชคณิตแบบบูลและส่วนประกอบคอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้อง

2.1 ตัวดำเนินการบูลีนพื้นฐาน

สมมติว่าฉัน (ผู้เขียน) สูง ส่วนคุณ (ผู้อ่าน) สูง ถ้ามีคนถามคุณว่าเราสูงทั้งคู่ไหม คุณจะตอบว่า “ใช่” (จริง) หากเขาถามว่าเราเตี้ยทั้งคู่ไหม คุณจะตอบว่า “ไม่” (เท็จ) ถ้าคุณตัวเตี้ยและฉันตัวสูง และเขาถามว่าคุณหรือฉันตัวสูงหรือเปล่า คำตอบของคุณก็คือ “ใช่” (จริง) ถ้าเขาถามว่าคุณและฉันสูงไหม คุณก็คงไม่ตอบ คุณอาจพูดต่อไปว่าไม่ควรถามคำถามสุดท้ายหรือคำถามไม่มีคำตอบ ฉันอยากให้คุณ (ผู้อ่าน) รู้ว่าวันนี้ภายใต้สถานการณ์บางอย่างควรถามคำถาม

ในทางชีววิทยา บุคคลจะสูงหรือเตี้ย เป็นสภาวะ “สิ่งแวดล้อม” ที่ทำให้บุคคลนั้นมีความสูงปานกลาง นักวิทยาศาสตร์คนหนึ่งชื่อ George Boole ได้กำหนดชุดคำตอบหรือกฎเกณฑ์สำหรับคำถามประเภทนี้ เราจะเรียนรู้กฎนี้ในส่วนนี้ของหลักสูตรอาชีพออนไลน์ (บทที่) กฎเหล่านี้ถูกนำมาใช้ในการคำนวณ การเขียนโปรแกรม อิเล็กทรอนิกส์ และโทรคมนาคมในปัจจุบัน ในความเป็นจริง หากไม่มีกฎเหล่านี้ คุณจะไม่มีคอมพิวเตอร์เหมือนเป็นเรื่องปกติในปัจจุบัน คุณจะไม่มีการเขียนโปรแกรมเหมือนเป็นเรื่องปกติในปัจจุบัน

จริงหรือเท็จ
ข้อความภาษามนุษย์ธรรมดาๆ นั้นเป็นจริงหรือเท็จในตัวมันเอง ถ้าฉันพูดว่า 'ฉันสูง' นั่นเป็นเรื่องจริงหรือเท็จ ถ้าฉันพูดว่า 'คุณสูง' นั่นเป็นเรื่องจริงหรือเท็จ ถ้าฉันสูงและคุณเตี้ย และคำถามถูกถามว่าคุณและฉันสูงหรือไม่ ในตรรกะบูลีน จะต้องตอบถูกหรือผิด สองสิ่งนี้ควรให้อันไหน? บูลไม่ได้ตอบคำถามนี้จริงๆ เขาแค่คิดกฎขึ้นมาให้เราปฏิบัติตาม ข่าวดีก็คือ เมื่อคุณปฏิบัติตามกฎเหล่านี้ในบริบทที่ถูกต้อง คุณจะไม่มีความคลุมเครือใดๆ ต้องขอบคุณกฎเหล่านี้ เราจึงมีคอมพิวเตอร์และการเขียนโปรแกรมในปัจจุบัน กฎได้รับให้คุณแล้ว กฎเกณฑ์ไม่สามารถอธิบายได้จริงๆ คุณเพียงแค่ยอมรับพวกเขา กฎอยู่ภายใต้สามหัวข้อ: AND, OR และ NOT

และ
คำถามสามารถถามได้ว่าทั้งคุณและฉันสูงหรือไม่ ความสูงของฉันและส่วนสูงของคุณจะถูกรวมเข้าด้วยกันโดยชุดกฎ AND ต่อไปนี้เป็นกฎ AND ที่ต้องปฏิบัติตาม:

เท็จและเท็จ = เท็จ
เท็จและจริง = เท็จ
จริงและเท็จ = เท็จ
จริงและจริง = จริง

ตอนนี้ให้ความสูงเป็นจริงและระยะสั้นเป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่าถ้าฉันเตี้ยและคุณเตี้ย คุณและฉันก็จะเตี้ย ถ้าฉันเตี้ยและคุณสูง คุณและฉันเตี้ย นั่นคือคำตอบบูลีนที่คุณต้องยอมรับ ถ้าฉันสูงและคุณเตี้ย ทั้งคุณและฉันก็จะเตี้ย ถ้าฉันสูงและคุณสูง คุณและฉันก็จะสูง ทั้งหมดนี้เป็นกฎบูลีนที่คุณ (ผู้อ่าน) ต้องยอมรับ

หรือ
คำถามสามารถถามได้ว่าคุณหรือฉันสูง ส่วนสูงของฉันและส่วนสูงของคุณจะถูกรวมเข้ากับชุดกฎ OR ต่อไปนี้เป็นกฎ OR ที่ต้องปฏิบัติตาม:

เท็จหรือเท็จ = เท็จ
เท็จหรือจริง = จริง
จริงหรือเท็จ = จริง
จริงหรือจริง = จริง

อีกครั้ง ให้ความสูงเป็นจริง และระยะสั้นเป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่า ถ้าฉันเตี้ยหรือคุณเตี้ย คุณหรือฉันเตี้ย ถ้าฉันเตี้ยหรือคุณสูง คุณหรือฉันก็สูง ถ้าฉันสูงหรือคุณเตี้ย คุณหรือฉันสูง ถ้าฉันสูงหรือคุณสูง คุณหรือฉันก็สูง ทั้งหมดนี้คือกฎบูลีนที่คุณต้องยอมรับ

ไม่
ตอนนี้ในตรรกะบูลีนมีเพียงสองสถานะ (คำตอบที่เป็นไปได้) เท่านั้น นั่นคือถ้าคุณไม่สูงแสดงว่าคุณเตี้ย ถ้าคุณไม่เตี้ย แสดงว่าคุณสูง ไม่มีอะไรอีกแล้ว. สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่กฎที่ต้องปฏิบัติตาม:

ไม่เท็จ = จริง
ไม่จริง = เท็จ

สมมติว่าคุณมีสตริง (หรือสปริง) ที่คุณสามารถขยายได้ (ดึง) ในขณะที่เชือกยังอยู่ในสภาพธรรมชาติ ถ้าฉันพูดว่า 'ไม่สั้น' คุณจะต้องขยายมันออก นั่นคือการตีความ ในขณะที่สายยืดออก ถ้าฉันพูดว่า 'ไม่นาน' คุณจะปล่อยให้มันหดตัว นั่นคือการตีความ

คุณต้องจดจำกฎที่กำหนดทั้งหมดในหมวดหมู่ต่างๆ

ตัวถูกดำเนินการมากกว่าสองตัว
ในภาษาคอมพิวเตอร์ AND, OR และ NOT แต่ละตัวจะถูกเรียกว่าโอเปอเรเตอร์ สำหรับตัวดำเนินการ NOT คุณจะต้องมีตัวถูกดำเนินการเพียงตัวเดียวเท่านั้น (ค่าของตัวดำเนินการ) จึงจะมีคำตอบ สำหรับตัวดำเนินการ AND หรือ OR คุณสามารถมีตัวถูกดำเนินการได้มากกว่าสองตัว กรณีก่อนหน้านี้แสดงตัวถูกดำเนินการสองตัวสำหรับ AND และ OR คุณสามารถมีตัวถูกดำเนินการได้สามตัวสำหรับ AND ดังนี้:

เท็จและเท็จและเท็จ = เท็จ
เท็จและเท็จและจริง = เท็จ

นี่คือสองบรรทัด แต่ละอันมีตัวดำเนินการ AND สองตัว จริงๆ แล้วมีเก้าบรรทัดเมื่อตัวถูกดำเนินการเป็นสาม เมื่อใช้ตัวดำเนินการ AND เฉพาะบรรทัดสุดท้าย (บรรทัดที่เก้า) เท่านั้นที่จะเท่ากับเป็นจริง บรรทัดก่อนหน้าทั้งหมดเป็นเท็จ โปรดทราบว่าเมื่อมีตัวถูกดำเนินการสองตัวสำหรับ AND มีเพียงบรรทัดสุดท้ายเท่านั้นที่ยังคงเป็นจริง สามบรรทัดก่อนหน้าทั้งหมดเป็นเท็จ เมื่อตัวถูกดำเนินการมีสี่ตัว จะมี 16 บรรทัด และเฉพาะบรรทัดสุดท้ายเท่านั้นที่เป็นจริงสำหรับตัวดำเนินการ AND

รูปแบบของ AND และรูปแบบของ OR แตกต่างกัน ด้วยตัวถูกดำเนินการสามตัวสำหรับตัวดำเนินการ OR สองตัว มีเก้าบรรทัดด้วย และคราวนี้มีเพียงบรรทัดแรกเท่านั้นที่เป็นเท็จ บรรทัดที่สองถึงเก้าเป็นจริง โปรดทราบว่าเมื่อมีตัวถูกดำเนินการสองตัวสำหรับ OR มีเพียงบรรทัดแรกเท่านั้นที่ยังคงเป็นจริง สามบรรทัดที่เหลือทั้งหมดเป็นเท็จ เมื่อตัวถูกดำเนินการเป็นสี่สำหรับ OR ก็จะมี 16 บรรทัดเช่นกัน

ตัวดำเนินการ NOT เกี่ยวข้องกับตัวถูกดำเนินการเพียงตัวเดียวเท่านั้น NOT false เป็นจริง และ NOT true ถือเป็นเท็จ

2.2 ตารางความจริงตัวดำเนินการสองตารางและส่วนประกอบอิเล็กทรอนิกส์

ในทางคณิตศาสตร์ มีหัวข้อหนึ่งเรียกว่าพีชคณิต มีให้เห็นบางส่วนในบทที่แล้ว มีพีชคณิตชนิดหนึ่งที่เรียกว่าพีชคณิตแบบบูล ในพีชคณิตแบบบูล จริงจะถูกระบุด้วยเลขฐานสองหลักคือ 1 และเท็จจะถูกระบุด้วยเลขฐานสองหลักคือ 0

ส่วนประกอบของหน่วยคอมพิวเตอร์ภายในเป็นส่วนประกอบอิเล็กทรอนิกส์ หน่วยระบบของระบบคอมพิวเตอร์มีส่วนประกอบอิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัล การดำเนินการ AND กระทำโดยส่วนประกอบอิเล็กทรอนิกส์ขนาดเล็กที่เรียกว่าเกท AND การดำเนินการ OR กระทำโดยชิ้นส่วนอิเล็กทรอนิกส์ขนาดเล็กที่เรียกว่าเกท OR การดำเนินการ NOT กระทำโดยส่วนประกอบอิเล็กทรอนิกส์ขนาดเล็กที่เรียกว่าเกท NOT ประตูเหล่านี้มากเกินไปอาจอยู่ในชิปวงจรรวม (IC)

และโต๊ะความจริงและประตูของมัน
ตารางต่อไปนี้แสดงตารางความจริง AND และสัญลักษณ์เกท AND (วงจรเล็ก):

สำหรับทั้งตารางความจริง AND และเกท A และ B เป็นตัวแปรอินพุตสองตัว Q คือตัวแปรเอาท์พุต A เป็น 1 หรือ 0 B เป็น 1 หรือ 0 Q เป็น 1 หรือ 0 ตารางความจริง AND ที่มี 1 และ 0 จะเหมือนกับเค้าโครงจริง/เท็จและความจริงก่อนหน้า (ตาราง) สมการ AND คือ:

ก. ข = ถาม

โดยที่จุด (.) หมายถึง AND (บูลีน) สามารถละจุดได้เพื่อให้ AB = Q ซึ่งหมายถึงสิ่งเดียวกัน (AND)

หมายเหตุ: บิตสำหรับ A และ B ในสี่แถวเป็นคู่ คือตัวเลขสี่ตัวแรกในฐานสองที่เริ่มต้นจาก 0 (หรือ 00) เช่น 00, 01, 10, 11

ตารางต่อไปนี้แสดงตารางความจริง OR และสัญลักษณ์เกต OR (วงจรเล็ก):

สำหรับทั้งตารางความจริง OR และเกท A และ B เป็นตัวแปรอินพุตสองตัว Q คือตัวแปรเอาท์พุต ตารางความจริง OR ที่มีเลข 1 และ 0 เหมือนกับเค้าโครงความจริงหรือความจริงก่อนหน้า (ตาราง)

สมการหรือคือ:

A + B = ถาม

โดยที่ + ในที่นี้หมายถึง Boolean OR ไม่ใช่การบวก สมการอ่านว่า 'A หรือ B เท่ากับ Q'

ตารางต่อไปนี้แสดงตารางความจริง NOT และสัญลักษณ์ NOT gate (วงจรเล็ก):

ตาราง NOT ความจริงหรือเกท NOT มีเพียงอินพุตเดียวและเอาต์พุตเดียวเท่านั้น เมื่ออินพุตเป็น 0 เอาต์พุตจะเป็น 1 เมื่ออินพุตเป็น 1 เอาต์พุตจะเป็น 0 เกท NOT จะทำการผกผันชนิดหนึ่ง ตัวแปรเอาต์พุตจะเหมือนกับตัวแปรอินพุต แต่มีแถบ (มีเส้นทับ) ตารางความจริง NOT ที่มีเลข 1 และ 0 จะเหมือนกับเค้าโครงจริง/เท็จหรือความจริงก่อนหน้า (ตาราง)

สมการ NOT คือ:

ก = ถาม

โดยที่ Q = A และแถบเหนือ A ในที่นี้หมายถึงส่วนเสริม ส่วนเสริมของ 0 คือ 1 และส่วนเสริมของ 1 คือ 0 ประตู NOT มีอีกชื่อหนึ่งว่า ประตู INVERTING

ตารางความจริงพื้นฐาน (หรือรูท) และเกต (วงจรขนาดเล็ก) ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัล (พร้อมพีชคณิตแบบบูล) ตารางความจริงอีกสามตารางที่ให้ไว้ในภาพประกอบต่อไปนี้และประตูมีไว้เพื่อความสะดวกและอิงตามตารางความจริงสามตารางก่อนหน้า

มีตารางความจริงและประตูที่ได้มาจากตารางความจริงและประตู เรียกว่าตารางความจริง NAND (สำหรับ NOT AND) และเกท NAND ที่เกี่ยวข้อง ตารางความจริง NAND และเกท NAND คือ:

หากต้องการรับตารางความจริง NAND ให้ไปที่เอาต์พุตของตารางความจริง AND แล้วแทนที่แต่ละหลักด้วยส่วนเสริม ส่วนเสริมของ 0 คือ 1 และส่วนเสริมของ 1 คือ 0 เกต NAND เหมือนกับเกต AND แต่มีวงกลมเล็กๆ ก่อนบรรทัดเอาต์พุต สมการของ NAND คือ:

โดยที่ หมายถึงส่วนเสริมของผลลัพธ์ของ 'A' และ 'B' แถบ (โอเวอร์ไลน์) จะแสดงที่ประตูด้วยวงกลมเล็กๆ โปรดทราบว่าสามารถละเว้นจุดระหว่าง A และ B ได้

มีตารางความจริงและประตูอีกอันหนึ่งที่ได้มาจากตารางความจริงและประตูหรือ เรียกว่าตารางความจริง NOR (สำหรับ NOT OR) และเกท NOR ที่เกี่ยวข้อง ตารางความจริง NOR และเกท NOR คือ:

หากต้องการรับตารางความจริง NOR ให้ไปที่ผลลัพธ์ของตารางความจริง OR และแทนที่แต่ละหลักด้วยส่วนเสริม ส่วนเสริมของ 0 คือ 1 และส่วนเสริมของ 1 คือ 0 เกต NOR เหมือนกับเกต OR แต่มีวงกลมเล็กๆ ก่อนบรรทัดเอาต์พุต สมการ NOR คือ:

ที่ไหน หมายถึงส่วนเสริมของผลลัพธ์ของ 'A' หรือ 'B' แถบ (โอเวอร์ไลน์) จะแสดงที่ประตูด้วยวงกลมเล็กๆ

พิเศษหรือ (XOR)
ตารางความจริงของเกท OR คือ:

ในภาษาอังกฤษปกติ ไม่ชัดเจนว่าแถวสุดท้ายของ 1 หรือ 1 ควรเป็น 1 หรือ 0 ดังนั้น ในพีชคณิตแบบบูลีน จะมีตารางความจริง OR สองประเภทและประตูสองช่องที่สอดคล้องกัน ด้วย OR ปกติ แถวสุดท้ายของ 1 OR 1 จะให้ 1 ส่วนอีกประเภทหนึ่งของ OR คือ Exclusive-OR (XOR) โดยที่สามแถวแรกเหมือนกับสามแถวแรกของ Normal OR (รวมเอาต์พุตด้วย) อย่างไรก็ตาม สำหรับแถวที่สี่และแถวสุดท้าย 1 หรือ 1 ให้ 0

ตารางต่อไปนี้แสดงตารางความจริง XOR และสัญลักษณ์เกท XOR (วงจรเล็ก):

สำหรับทั้งตารางความจริง XOR และประตู 'A' และ 'B' เป็นตัวแปรอินพุตสองตัว “Q” คือตัวแปรเอาท์พุต

สมการ XOR คือ:

A ⊕ B = ถาม

โดยที่ ⊕ ในที่นี้หมายถึง Boolean XOR

Normal OR หมายถึงอย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง Exclusive OR แปลว่า เคร่งครัด ทั้ง และไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

2.3 สมมุติฐานบูลีน

สมมุติฐานคือสมมติฐานที่ขึ้นอยู่กับข้อสรุปบางประการ มีสมมุติฐานบูลีนสิบข้อที่มาจากสมการ AND, OR และ NOT (ตารางความจริง) สมการเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชัน ฟังก์ชันพื้นฐานจะถูกคัดลอกใหม่ดังนี้:

สิ่งเหล่านี้คือฟังก์ชันพื้นฐาน (สมการ) ในพีชคณิตแบบบูล สมการ (ฟังก์ชัน) อีกสามสมการต่อไปนี้ไม่ใช่ฟังก์ชันพื้นฐาน:

แม้ว่าฟังก์ชันสุดท้ายที่นี่จะดูแปลก แต่ก็ไม่ถือเป็นฟังก์ชันพื้นฐาน

สมมุติฐานบูลีนมีดังนี้:

จากฟังก์ชัน AND
1) 0 . 0 = 0
ยี่สิบ . 1 = 0
3) 1. 0 = 0
4) 1. 1 = 1

จากฟังก์ชันหรือ
5) 0 + 0 = 0
6) 0 + 1 = 1
7) 1 + 0 = 1
8) 1 + 1 = 1

จากฟังก์ชัน NOT
9) 0 = 1
10) 1 = 0

บันทึก: สมมุติฐานเหล่านี้เป็นเพียงบรรทัดในตารางความจริง AND, OR และ NOT ที่แสดงออกมาอย่างเป็นอิสระ ผู้อ่านควรจดจำหลักการที่กำหนด

2.4 คุณสมบัติบูลีน

คุณสมบัติก็เหมือนกับลักษณะของบางสิ่งบางอย่าง คุณสมบัติบูลีนคือสมการที่ได้มาจากสมมุติฐานบูลีน ในส่วนนี้ คุณสมบัติต่างๆ จะได้รับอย่างง่ายๆ โดยไม่มีอนุพันธ์ แล้วจึงนำไปใช้ในภายหลัง มีคุณสมบัติยี่สิบห้ารายการที่จัดกลุ่มภายใต้หัวข้อสิบหัวข้อดังนี้:

คุณสมบัติของฟังก์ชัน AND

คุณสมบัติ 1:

โดยที่ X สามารถเป็น 1 หรือ 0 ได้ ซึ่งหมายความว่าไม่ว่า X จะเป็นเท่าใด ผลลัพธ์จะเป็น 0 เสมอ

หมายเหตุ: ตัวแปรไม่จำเป็นต้องเป็น A หรือ B หรือ C หรือ D ตัวแปรอาจเป็น W หรือ X หรือ Y หรือ Z หรือตัวอักษรอื่นใด

คุณสมบัติ 2:

โดยที่ X อาจเป็น 1 หรือ 0 โปรดทราบว่าความแตกต่างระหว่างคุณสมบัติ 1 และคุณสมบัติ 2 คือทางด้านซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับของสมการทั้งสอง ตำแหน่งของ X และ 0 สลับกัน

คุณสมบัติ 3:

ถ้า X เป็น 0 แล้ว 0 1 = 0 ถ้า X เป็น 1 แล้ว 1 1 = 1

คุณสมบัติ 4:

ถ้า X เป็น 0 แล้ว 1 0 = 0 ถ้า X เป็น 1 แล้ว 1 1 = 1 โปรดทราบว่าความแตกต่างระหว่างคุณสมบัติ 3 และคุณสมบัติ 4 คือทางด้านซ้ายมือของสมการทั้งสอง ตำแหน่งของ X และ 1 สลับกัน

คุณสมบัติของฟังก์ชัน OR

คุณสมบัติ 5:

โดยที่ X สามารถเป็น 1 หรือ 0 ได้ ซึ่งหมายความว่าถ้า X เป็น 0 ผลลัพธ์จะเป็น 0 ถ้า X เป็น 1 ผลลัพธ์จะเป็น 1

คุณสมบัติ 6:

โดยที่ X อาจเป็น 1 หรือ 0 โปรดทราบว่าความแตกต่างระหว่างคุณสมบัติ 5 และคุณสมบัติ 6 คือทางด้านซ้ายมือของสมการทั้งสอง ตำแหน่งของ X และ 0 สลับกัน

คุณสมบัติ 7:

ถ้า X เป็น 0 แล้ว 0 + 1 = 1 ถ้า X เป็น 1 แล้ว 1 + 1 = 1

คุณสมบัติ 8:

ถ้า X เป็น 0 ดังนั้น 1 + 0 = 1 ถ้า X เป็น 1 แล้ว 1 + 1 = 1 โปรดทราบว่าความแตกต่างระหว่างคุณสมบัติ 7 และคุณสมบัติ 8 คือทางด้านซ้ายมือของสมการทั้งสอง ตำแหน่งของ X และ 1 สลับกัน

คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับการรวมตัวแปรเข้ากับตัวมันเองหรือส่วนประกอบของมัน

คุณสมบัติ 9:

นั่นคือ: ถ้า X เป็น 0 ดังนั้น 0 0 = 0 ถ้า X เป็น 1 แล้ว 1 1 = 1

คุณสมบัติ 10:

นั่นคือ: ถ้า X เป็น 0 แล้ว 0 1 = 0 ถ้า X เป็น 1 แล้ว 1 0 = 0

สำหรับตัวแปรที่ต่อเนื่องกัน คุณสมบัตินี้จะกลายเป็น:

คุณสมบัติ 11:

นั่นคือ: ถ้า X เป็น 0 แล้ว 0 + 0 = 0 I ถ้า X คือ 1 แล้ว 1 + 1 = 1 (จากปกติ OR)

คุณสมบัติ 12:

นั่นคือ: ถ้า X เป็น 0 แล้ว 0 + 1 = 1 ถ้า X = 1 แล้ว 1 + 0 = 1

นั่นคือ: ถ้า X เป็น 0 แล้ว 0 + 1 = 1 ถ้า X = 1 แล้ว 1 + 0 = 1

การเสริมสองเท่า

คุณสมบัติ 13:

เมื่อ X ทางด้านซ้ายมือเป็น 0 X ทางด้านซ้ายมือจะกลายเป็น 0 เมื่อ X ทางด้านซ้ายมือเป็น 1 X ทางด้านซ้ายมือจะกลายเป็น 1 กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเติมเต็มสองครั้งจะให้ค่าดั้งเดิมกลับคืนมา

กฎหมายสับเปลี่ยน

คุณสมบัติ 14:

ซึ่งหมายความว่าการแลกเปลี่ยนตัวถูกดำเนินการตัวแรกและตัวที่สองสำหรับตัวดำเนินการ AND ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับนั้นไม่สำคัญ คำตอบยังคงเดิมหลังจากเกิดทางแยกทางด้านซ้ายแล้ว สมการนี้สามารถเขียนได้โดยไม่ต้องใส่จุดเป็น: XY = YX

คุณสมบัติ 15:

คำอธิบายที่นี่จะเหมือนกับใน AND ก่อนหน้า แต่มีไว้สำหรับตัวดำเนินการ OR

กฎหมายการกระจาย

คุณสมบัติ 16:

มีตัวแปรสามตัวดังนี้: X, Y และ Z แต่ละตัวแปรสามารถเป็น 1 หรือ 0 ได้ ทางด้านซ้ายมือของสัญลักษณ์เท่ากับ วงเล็บหมายถึงประเมินสิ่งที่อยู่ในสัญลักษณ์ก่อน จากนั้น AND เป็นผลลัพธ์ของ X ทางขวามือบอกว่า X และ Y รวมกัน หรือ X AND Z รวมกันจะเหมือนกับทางซ้ายมือ โปรดทราบว่าตัวดำเนินการจุดสำหรับ AND จะถูกละไว้ตลอด และตัวแปรที่รวมยังคงหมายถึง AND

คุณสมบัติ 17:

คุณสมบัตินี้เป็นส่วนขยายของคุณสมบัติ 16 โดยมีตัวแปรเพิ่มเป็น W

กฎหมายที่เกี่ยวข้อง

คุณสมบัติ 18:

วงเล็บหมายถึงประเมินสิ่งที่อยู่ในวงเล็บก่อน ดังนั้น สำหรับนิพจน์ทางด้านซ้าย ถ้า Y กับ Z เป็น ANDed ก่อน และ X เป็น ANDed กับผลลัพธ์ ผลลัพธ์สุดท้ายทางด้านซ้ายมือจะเหมือนกับผลลัพธ์สุดท้ายทางด้านขวา -ด้านมือ โดยที่ X ที่มี Y คือ AND ก่อน ก่อนที่จะ ANDing ผลลัพธ์ด้วย Z โปรดทราบว่าจุดต่างๆ จะถูกละเว้นในสมการ

คุณสมบัติ 19:

คุณสมบัตินี้อธิบายในลักษณะเดียวกันกับคุณสมบัติ 18 แต่ใช้ตัวดำเนินการ OR แทนตัวดำเนินการ AND ตัวดำเนินการ OR + จะไม่ถูกละเว้นจากนิพจน์บูลีนเพื่อความเรียบง่าย ในทางกลับกัน สามารถละเว้นตัวดำเนินการ AND และสามารถรวมตัวแปรทั้งสองเข้าด้วยกันได้

การดูดซึม

คุณสมบัติ 20:

ด้วยสมการนี้ ไม่ว่า Y จะเป็นเท่าใด ทางขวามือจะเป็น X เสมอ (ดูดซับ)

คุณสมบัติ 21:

นอกจากนี้ ด้วยสมการนี้ ไม่ว่า Y จะเป็นเท่าใด ทางขวามือจะเป็น X เสมอ (ดูดซับ) คุณสมบัติ 21 นี้เหมือนกับคุณสมบัติ 20 ซึ่งก็คือ:

ในที่นี้ เราใช้กฎการกระจายและข้อเท็จจริงที่ว่า X.X = X ของทรัพย์สิน 9

ตัวตน

คุณสมบัติ 22:

ซึ่งหมายความว่าสำหรับนิพจน์ X + Y ส่วนเสริมของ X ที่อยู่หน้า Y จะไม่เปลี่ยนนิพจน์

คุณสมบัติ 23:

ซึ่งหมายความว่าสำหรับนิพจน์ XY ส่วนเสริมของ X ORed ที่มี Y ในวงเล็บซึ่งเสร็จก่อน จะไม่เปลี่ยนนิพจน์ XY

กฎของเดอมอร์แกน

คุณสมบัติ 24:

ซึ่งหมายความว่าเกท NOR (NOT OR) จะมีผลลัพธ์เหมือนกับการสังเกตอินพุตทั้งสองก่อนที่จะทำการ AND

คุณสมบัติ 25:

ซึ่งหมายความว่าเกท NAND (ไม่ใช่ AND) มีผลลัพธ์เหมือนกับการสังเกตอินพุตทั้งสองก่อน ORing

ภาพประกอบที่ให้มาคือคุณสมบัติ 25 รายการ สามารถพิสูจน์ได้โดยการแทนที่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ 1 และ 0 ในแต่ละนิพจน์ทางด้านซ้ายมือ เพื่อดูว่าได้นิพจน์ (หรือผลลัพธ์) ทางด้านขวามือหรือไม่ หลักฐานเหลือไว้เป็นแบบฝึกหัดสำหรับผู้อ่าน

2.5 ลดความซับซ้อนของนิพจน์ผสม

สองฟังก์ชันต่อไปนี้จะเหมือนกัน:

Z คือเอาต์พุต และ X, W และ Y คืออินพุต ตัวแรกจำเป็นต้องมีเกต NAND, เกท OR, เกท AND, เกท NOT สองตัว, เกท OR และเกท NOR อันที่สองต้องการเพียงสองประตูและ สมการแรกคือสมการที่มีนิพจน์ผสมทางด้านขวามือ ซึ่งได้รับการลดความซับซ้อน (ลดลง) ให้เป็นนิพจน์ทางขวารายการเดียวสำหรับสมการที่สอง

การลดความซับซ้อนหรือการลดลงทำให้จำนวนเกตน้อยลงเพื่อใช้ฟังก์ชันเดียวกันกับวงจร วงจรขนาดเล็กดังกล่าวอาจเป็นส่วนหนึ่งของวงจรรวม (IC) หรือเป็นวงจรเดี่ยวบนพื้นผิวของเมนบอร์ดคอมพิวเตอร์

เมื่อฟังก์ชัน (สมการ) มาถึงกระบวนการออกแบบ จะต้องทำให้ง่ายขึ้นเพื่อลดจำนวนเกตและจบลงด้วยวงจรที่ถูกกว่า การทำให้เข้าใจง่ายจำเป็นต้องใช้คุณสมบัติบูลีนหนึ่งรายการหรือมากกว่าจากคุณสมบัติบูลีนก่อนหน้านี้ยี่สิบห้ารายการ

ตัวอย่าง 2.51:

ลดสมการ:

บันทึก: วงเล็บสองอันที่อยู่ติดกันหมายความว่าวงเล็บเป็นแบบ AND (ไม่จำเป็นต้องเขียนจุดระหว่างวงเล็บ)

สารละลาย:
สำหรับวิธีแก้ไข การให้เหตุผล (เหตุผล) สำหรับแต่ละขั้นตอนจะระบุไว้ทางด้านขวาของขั้นตอนในวงเล็บ ผู้อ่านควรอ่านแต่ละขั้นตอนและเหตุผลของมัน ผู้อ่านควรอ้างอิงถึงคุณสมบัติก่อนหน้านี้ในขณะที่เขา/เธออ่านขั้นตอนการลดฟังก์ชัน

ตัวอย่าง 2.52:

ลดความซับซ้อน:

2.6 ผลรวมขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์

สองฟังก์ชันต่อไปนี้จะเหมือนกัน:

นิพจน์ทางขวามือทั้งสองของสมการทั้งสองกล่าวกันว่าอยู่ในรูปแบบผลรวมของผลิตภัณฑ์ (SP) นิพจน์ด่วนจะกล่าวว่าอยู่ในรูปแบบผลรวมของผลิตภัณฑ์หากไม่มีวงเล็บ เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันแรก (สมการ) ต้องการเกตมากกว่าฟังก์ชันที่สอง

นิพจน์มือขวาตัวแรกยังคงสามารถลดลงเพื่อให้ได้ฟังก์ชันที่สอง นิพจน์ทางด้านขวามือที่สองไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีกต่อไป และยังคงแสดงเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ ('เพิ่มเติม' ของข้อกำหนด) นิพจน์ทางขวามือที่สองไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีกต่อไป ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าอยู่ในแบบฟอร์มผลรวมขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์ (MSP)

ตัวอย่าง 2.61:
นำฟังก์ชันต่อไปนี้มาไว้ในฟอร์มผลรวมของผลิตภัณฑ์ก่อน จากนั้นจึงนำไปยังฟอร์มผลรวมขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์

สารละลาย:
เมื่อแก้ไขปัญหาเช่นนี้ จะต้องใช้คุณสมบัติอย่างน้อยหนึ่งรายการจากยี่สิบห้าคุณสมบัติก่อนหน้านี้ดังที่แสดงในโซลูชันนี้:

2.6 ผลรวมขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์

สองฟังก์ชันต่อไปนี้จะเหมือนกัน:

นิพจน์ทางขวามือทั้งสองของสมการทั้งสองกล่าวกันว่าอยู่ในรูปแบบผลรวมของผลิตภัณฑ์ (SP) นิพจน์ด่วนจะกล่าวว่าอยู่ในรูปแบบผลรวมของผลิตภัณฑ์หากไม่มีวงเล็บ เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันแรก (สมการ) ต้องการเกตมากกว่าฟังก์ชันที่สอง

นิพจน์มือขวาตัวแรกยังคงสามารถลดลงเพื่อให้ได้ฟังก์ชันที่สอง นิพจน์ทางด้านขวามือที่สองไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีกต่อไป และยังคงแสดงเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ ('เพิ่มเติม' ของข้อกำหนด) นิพจน์ทางขวามือที่สองไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีกต่อไป ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าอยู่ในแบบฟอร์มผลรวมขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์ (MSP)

ตัวอย่าง 2.61:
นำฟังก์ชันต่อไปนี้มาไว้ในฟอร์มผลรวมของผลิตภัณฑ์ก่อน จากนั้นจึงนำไปยังฟอร์มผลรวมขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์

สารละลาย:
เมื่อแก้ไขปัญหาเช่นนี้ จะต้องใช้คุณสมบัติอย่างน้อยหนึ่งรายการจากยี่สิบห้าคุณสมบัติก่อนหน้านี้ดังที่แสดงในโซลูชันนี้:

นิพจน์สุดท้ายนี้อยู่ในฟอร์มผลรวมของผลิตภัณฑ์ (SP) แต่ไม่ใช่ในรูปแบบผลรวมขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์ (MSP) คำถามส่วนแรกได้รับคำตอบแล้ว วิธีแก้ปัญหาสำหรับส่วนที่สองมีดังนี้:

ฟังก์ชันที่ทำให้ง่ายขึ้น (สมการ) สุดท้ายนี้อยู่ในรูปแบบ MSP และต้องการจำนวนเกตน้อยกว่าสำหรับการนำไปใช้งานมากกว่าแบบฟอร์ม SP ที่สอดคล้องกัน ข้อควรจำ: SP หมายถึงผลรวมของผลิตภัณฑ์ในขณะที่ MSP หมายถึงผลรวมขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์

ตัวอย่าง 2.62:
วงจรต่อไปนี้มีอินพุต X, Y และ W และ Z คือเอาต์พุต สร้างฟังก์ชันผลรวมของผลิตภัณฑ์ (SP) (ผลรวมของผลิตภัณฑ์ขั้นต่ำที่ปรากฏ) สำหรับ Z จากนั้น สร้างผลรวมของผลิตภัณฑ์ (MSP) ที่ลดลงมากขึ้นจริง จากนั้น ปรับใช้วงจร MSP (วาดเครือข่ายเกตติ้ง MSP)

รูปที่ 2.61 วงจรเกต

สารละลาย:
ก่อนที่กระบวนการลดความซับซ้อนจะเริ่มขึ้น นิพจน์สำหรับ Z จะต้องได้รับในรูปของ X, Y และ W โปรดดูภาพประกอบตัวอย่างนี้จากแผนภาพ:

นี่คือการแสดงออกของ Z ในรูปของ X, Y และ W หลังจากนี้ การลดความซับซ้อนของ MSP ที่ชัดเจนสามารถเกิดขึ้นได้ MSP ที่ปรากฏคือ SP

สมการ (ฟังก์ชัน) สุดท้ายนี้อยู่ในรูปแบบ SP ผลรวมขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์ (ยังไม่เป็น MSP) ไม่เป็นความจริง ดังนั้นการลด (minimization) จึงต้องดำเนินต่อไป

สมการ (ฟังก์ชัน) สุดท้ายนี้คือผลรวมขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์ (MSP) ที่แท้จริง และผลรวมขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์ (ย่อเล็กสุดจริง) ของวงจรเกตคือ:

รูปที่ 2.62 วงจรเกตติ้ง MSP

ความคิดเห็น
จากการวิเคราะห์ในส่วนนี้จะเห็นได้ว่าผลรวมของผลิตภัณฑ์คือผลรวมขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์หรือไม่ SP ไม่ค่อยมีประโยชน์ เป็น MSP ที่มีประโยชน์มาก มีวิธีที่แน่นอนในการรับ MSP; มันคือการใช้แผนที่ Karnaugh Karnaugh Map อยู่นอกเหนือขอบเขตของหลักสูตรอาชีพออนไลน์นี้

2.7 ปัญหา

ผู้อ่านควรแก้ไขปัญหาทั้งหมดในบทก่อนที่จะไปยังบทถัดไป

1. สร้างตารางความจริง AND, OR และ NOT ด้วยเกตที่สอดคล้องกัน
2. เขียนหลักบูลีนทั้ง 10 หลักลงในหมวดหมู่ต่างๆ โดยตั้งชื่อหมวดหมู่
3. หากไม่มีคำอธิบาย ให้เขียนคุณสมบัติของพีชคณิตแบบบูลยี่สิบหกลงในหมวดหมู่ต่างๆ โดยตั้งชื่อหมวดหมู่
4. ลดสมการโดยใช้คุณสมบัติบูลีนและอ้างอิงหมวดหมู่ที่ใช้



5. ลดสมการโดยใช้คุณสมบัติบูลีนและอ้างอิงหมวดหมู่ที่ใช้



6. การใช้คุณสมบัติบูลีนและการอ้างอิงหมวดหมู่ที่ใช้ ลดสมการต่อไปนี้ - อันดับแรกเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ จากนั้นจึงเหลือผลรวมขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์:



7. การใช้คุณสมบัติบูลีนและการอ้างอิงหมวดหมู่ที่ใช้ ลดสมการต่อไปนี้ - อันดับแรกเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ จากนั้นจึงเหลือผลรวมขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์: